提示：此条目的主题不是均方根误差。
在统计学中，平均平方誤差（mean-square error，MSE[1]）或均方误差[2][3]，又称均方偏差[4][5]（mean-square deviation，MSD）、均方差[6][7]，是预测值或估计值与真实值的差异平方的均值。均方误差越小说明模型的预测或者参数的估计精度越准确。
計算公式[编辑]
对于无法观察的参数
θ
{\displaystyle \theta }
的一个估计函数T；其定义为：
MSE
(
T
)
=
E
(
(
T
−
θ
)
2
)
,
{\displaystyle \operatorname {MSE} (T)=\operatorname {E} ((T-\theta )^{2}),}
即，它是“误差”的平方的期望值。误差就是估计值与被估计量的差。均方误差满足等式
MSE
(
T
)
=
var
(
T
)
+
(
bias
(
T
)
)
2
{\displaystyle \operatorname {MSE} (T)=\operatorname {var} (T)+(\operatorname {bias} (T))^{2}}
其中
bias
(
T
)
=
E
(
T
)
−
θ
,
{\displaystyle \operatorname {bias} (T)=\operatorname {E} (T)-\theta ,}
也就是说，偏差
bias
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {bias} (T)}
是估计函数的期望值与那个无法观察的参数的差。
下边是一个具体例子。假设
X
1
,
…
,
X
n
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
,
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\sim \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2}),}
即
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
是一组来自正态分布的样本。常用的两个对σ2估计函数为：
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}\ }
和
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}}
其中
X
¯
=
(
X
1
+
⋯
+
X
n
)
/
n
{\displaystyle {\overline {X}}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}
为样本均值。
第一个估计函数为最大似然估计，它是有偏的，即偏差不为零，但是它的方差比第二个小。而第二个估计函数是无偏的。较大的方差某种程度上补偿了偏差，因此第二个估计函数的均方误差比第一个要大。
另外，这两个估计函数的均方误差都比下边这个有偏估计函数大：
1
n
+
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}}
这个估计函数使得形如
c
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle c\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}}
（其中c是常数）的均方误差最小。
參見[编辑]
圖像壓縮
视频壓縮
平均百分比误差（英语：Mean percentage error）
均方量化误差（英语：Mean square quantization error）
加权均方误差（英语：Mean square weighted deviation）
均方偏移（英语：Mean squared displacement）
均方预测误差（英语：Mean squared prediction error）
最小均方误差
过拟合
峰值信噪比
外部链接[编辑]
测量图像以及视频均方误差的一些工具（页面存档备份，存于互联网档案馆）
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^ Aapo Hyvärinen; Juha Karhunen, Erkki Oja. Independent Component Analysis. John Wiley & Sons. 2004: 81. ISBN 9780471464198. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
^ 均方误差. 《中国大百科全书》第三版.
^ 均方誤差. 樂詞網. 國家教育研究院 （中文（臺灣））.
^ 张鸿林; 葛显良. 英汉数学词汇. 清华大学出版社有限公司. 2005: 433. ISBN 9787302098935. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
^ 均方偏差. 樂詞網. 國家教育研究院 （中文（臺灣））.
^ 均方差. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）
^ 均方差. 樂詞網. 國家教育研究院 （中文（臺灣））.